Serie de Fibonacci

 

Serie de Fibonacci

Leonardo de Pisa, quizá el matemático más sobresaliente de la edad media, es más conocido hoy en día con el apodo de Fibonacci, por filius Bonacci, “hijo de Bonacci”. ya que el nombre completo de su padre era Guglielmo Bonacci. 

Leonardo nació hacia el año 1170 en la ciudad de Pisa, la cual por aquél entonces, era un gran centro comercial y económico. 

Fibonacci adquirió fama por haber difundido en Europa el sistema de numeración de origen indo-arábigo actualmente utilizado, el cual emplea notación posicional de base 10 o decimal, con el cero como dígito de valor nulo. 

Sin embargo en la actualidad, cada vez que se menciona el nombre de Fibonacci, inmediatamente se asocia a este, la tan particular sucesión infinita de números naturales descrita por el matemático. Dicha sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, cada elemento siguiente es la suma de los dos anteriores. Así, la sucesión se conforma entonces por: 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 …..Hasta infinito. 

Al parecer, la sucesión habría sido descrita por Fibonacci con el fin de dar respuesta a un acertijo matemático (o tal vez haya sido un problema real) vinculado con la cantidad de pares de conejos que habría en una granja tras ciertas condiciones de reproducción de estos en un determinado período de tiempo. 

Quizá la relevancia que tiene hoy en día la serie de Fibonacci, deriva de su particularidad de que, a medida que se sigue el sentido creciente de los números, la razón entre cada número de la serie y su anterior, se acerca más y más al número áureo. El número áureo o de oro, también llamado razón extrema, razón áurea, razón dorada, proporción áurea, divina proporción (entre otros nombres) y que es representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional y su valor es aproximadamente igual a: 1,618. 

Veamos cómo se cumple lo que acabamos de mencionar en el párrafo anterior con los primeros 25 números de la serie de Fibonacci: 

Orden	Serie	Razón
1	0	Sin anterior
2	1	Indefinido
3	1	1
4	2	2
5	3	1,5
6	5	1,666666667
7	8	1,6
8	13	1,625
9	21	1,615384615
10	34	1,619047619
11	55	1,617647059
12	89	1,618181818
13	144	1,617977528
14	233	1,618055556
15	377	1,618025751
16	610	1,618037135
17	987	1,618032787
18	1597	1,618034448
19	2584	1,618033813
20	4181	1,618034056
21	6765	1,618033963
22	10946	1,618033999
23	17711	1,618033985
24	28657	1,61803399
25	46368	1,618033988

Vemos en la tabla, que para el 1er elemento de la serie (el cero) no tenemos anterior, así que no podemos encontrar el valor de la razón para él. Para el segundo elemento (el uno), la división por su anterior (el cero) es una indeterminación matemática, por lo que tampoco tenemos un valor. Para el tercer elemento (también igual a uno), al dividirlo por su anterior (el otro uno) nos da como resultado 1. Siguiendo este camino, vemos que a medida que vamos en el camino creciente de los números de Fibonacci, la razón se acerca más y más al número áureo 1,618. 

El número áureo es un patrón ideal de proporcionalidad, que puede deducirse, entre otras formas, de la división en dos de un segmento que guarda las siguientes proporciones: La longitud total a+b dividido por la longitud de a, es igual a la longitud de a dividido por el segmento más corto b. 

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple: 

Para encontrar el valor del número áureo, al segmento más corto (b) le asignamos el valor 1. La igualdad será ahora: 

Si multiplicamos ambos miembros por a (la igualdad no se modifica), obtenemos: 

Si ahora lo igualamos a cero (a ambos lados de la igualdad restamos a+1): 

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es: 

El resultado es el valor del número áureo, equivalente a la relación: 

Hasta aquí, parecería que la serie de Fibonacci tiene propiedades extraordinarias por cumplir, entre otras cosas, con la razón áurea, pero en realidad es necesario aclarar que la serie numérica de Fibonacci no es la única que cumple con la condición de que dividiendo un número de la serie por su anterior se acerca más y más a la razón áurea a medida que se crece en la serie. ¿Y cuántas otras series hay, que la cumplen? Pues infinitas!! 

Lo dicho en el párrafo anterior es así, porque en realidad, la razón áurea se cumple para cualquier serie de números donde cada elemento de la serie es la suma de los dos anteriores, es más, no importa siquiera si los números intervinientes son enteros o racionales y tampoco importa con cuál par de números comience la serie. Veamos: 

Fibonacci		Serie 1		Serie 2		Serie 3
0	Sin ant	0	Sin ant	-70	Sin ant	0,025	Sin ant
1	Indefinido	50	Indefinido	2	-0,02857	-0,318	-12,72000
1	1,00000	50	1,00000	-68	-34,00000	-0,293	0,92138
2	2,00000	100	2,00000	-66	0,97059	-0,611	2,08532
3	1,50000	150	1,50000	-134	2,03030	-0,904	1,47954
5	1,66667	250	1,66667	-200	1,49254	-1,515	1,67588
8	1,60000	400	1,60000	-334	1,67000	-2,419	1,59670
13	1,62500	650	1,62500	-534	1,59880	-3,934	1,62629
21	1,61538	1050	1,61538	-868	1,62547	-6,353	1,61490
34	1,61905	1700	1,61905	-1402	1,61521	-10,287	1,61924
55	1,61765	2750	1,61765	-2270	1,61912	-16,640	1,61758
89	1,61818	4450	1,61818	-3672	1,61762	-26,927	1,61821
144	1,61798	7200	1,61798	-5942	1,61819	-43,567	1,61797
233	1,61806	11650	1,61806	-9614	1,61797	-70,494	1,61806
377	1,61803	18850	1,61803	-15556	1,61806	-114,061	1,61802
610	1,61804	30500	1,61804	-25170	1,61803	-184,555	1,61804
987	1,61803	49350	1,61803	-40726	1,61804	-298,616	1,61803
1597	1,61803	79850	1,61803	-65896	1,61803	-483,171	1,61803
2584	1,61803	129200	1,61803	-106622	1,61803	-781,787	1,61803
4181	1,61803	209050	1,61803	-172518	1,61803	-1264,958	1,61803
6765	1,61803	338250	1,61803	-279140	1,61803	-2046,745	1,61803
10946	1,61803	547300	1,61803	-451658	1,61803	-3311,703	1,61803
17711	1,61803	885550	1,61803	-730798	1,61803	-5358,448	1,61803

En la tabla anterior tenemos cuatro series, la de Fibonacci y 3 series más. La serie de Fibonacci como ya vimos comienza con los números 0 y 1, la serie 1 comienza con 0 y 50, la serie 2 comienza con -70 y 2, la serie 3 comienza con 0,025 y -0,318. Cada número siguiente de cada serie resulta de la suma de los dos anteriores. Se presentan los 25 primeros números de cada serie. Como se puede ver, en la columna derecha de cada serie se tiene el resultado de cada número dividido por su anterior. En cada caso se cumple que a medida que se crece en la serie, la razón entre un número y su anterior se acerca cada vez más a 1,618, la razón áurea. 

Los números iniciales de las series de la tabla anterior fueron elegidos al azar. Pruebe usted con cualquier par de números de inicio de serie y verá que el principio se cumple. 

En consecuencia, la proporción áurea no es una propiedad exclusiva de la serie de Fibonacci, sino de cualquier serie que se describa con el mismo método. 

La pregunta entonces es: ¿Qué tiene que ver Fibonacci con los indicadores técnicos de mercados? 

Pues resulta ser que muchos fenómenos de la naturaleza se comportan siguiendo el patrón definido por la serie. Algunos ejemplos de esos fenómenos son: 

· La disposición de los pétalos de las flores. 

· La distribución de las hojas en un tallo. 

· La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles. 

· La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci. 

· La cantidad de pétalos en las flores. Existen flores con 3, 5 y 8 pétalos y también con 13, 21, 34, 55, 89 y 144. 

· Etc. 

A decir verdad, existen muchos otros ejemplos, donde la naturaleza parece seguir el patrón de la serie de Fibonacci y consecuentemente la proporción áurea. Tal vez por este motivo, a alguien se le ocurrió que, si este fenómeno se encuentra manifiesto en la naturaleza, debería también afectar de alguna forma a la psicología humana y, siendo el factor psicológico tan relevante para el trading, también debería tener influencia en este ámbito. 

Los porcentajes áureos 

Los valores de porcentaje usados en los indicadores de Fibonacci son: 0%, 23,6%, 38,2%,50%, 61,8%, 76,4% y 100%. ¿De dónde salen? 

Veamos de nuevo el gráfico utilizado para explicar la razón áurea: 

Decíamos que la razón áurea se cumple cuando: 

Habíamos encontrado que (considerando solo tres cifras decimales): 

 

Lo cual significa que si b=1  entonces , a=1,618, de donde se desprende que: a + b = 1,618 +1 = 2,618 

Este es el largo total de la barra “a+b”. 

Ahora bien, ¿qué porcentaje del largo total de la barra “a+b” representa el segmento “a” y cuál porcentaje representa el segmento “b”? 

Ahora bien el valor 23,6% aparece de la diferencia de 61,8% - 38,2%. Los valores 0%, 50% y 100% aparecen de considerar los extremos inicial y final del segmento y su punto medio, mientras que el valor 76,4% resulta de la diferencia 100% - 23,6%.